調べた結果を記載していきます。
まず、iPhone標準のメールアプリでGmailの設定する場合、Androidのようなプッシュ通知とならず、フェッチという何分か毎に新着があるか確認する方法となってしまう。
最低間隔は15分に出来るが、これでは遅いと感じる。
iPhone標準のメールアプリではAndroidと同じ使い勝手にならなかった。
次にGoogleのGmailアプリを入れてみた。
このアプリならば、プッシュ通知が出来るので即時受信ができる。
ただ、プッシュ通知されるのは受信トレイに残るメールのみであった。
フィルタでラベル振り分けをしていて、『受信トレイをスキップ（アーカイブする）』をしている場合はプッシュ通知の対象にならない。
なので、WebブラウザからGmailにログインし、『設定』→『フィルタとブロック中のアドレス』で各フィルタの『受信トレイをスキップ（アーカイブする）』のチェックを外し、受信トレイに残るようする。
そうすればプッシュ通知されるようになる。
だが、そのままだと受信トレイにメールが残り続けるので、メールを見終わったらアーカイブボタンを押して、受信トレイから消す運用にするしかなさそうだ。（ラベルに行けばもちろんメールは見れる）
ただ、即時受信が必要ないメールについては、『受信トレイをスキップ（アーカイブする）』をしてしまっていいだろう。
ひとまずこの設定で使っていこうと思います。
まとめるとAndroidと同じように使うには、
- 即時通知してほしいメールは、フィルタ設定で 『受信トレイをスキップ（アーカイブする）』 をしない
- iPhoneでそのメールを見終わったら、アーカイブする
検証端末： iPhone7 IOS10.0.1